Ratkaise 3x^2-8x+4x-2/x-2=5x+8

$$\frac { 3 x ^ { 2 } - 8 x + 4 x - 2 } { x - 2 } = 5 x + 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{29} - 1}{2} \approx 2,192582404$$

$$x=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}\approx -3,192582404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$3x^{2}-8x+4x-2=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Selvitä -4x yhdistämällä -8x ja 4x.

$$3x^{2}-4x-2=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Laske lukujen 5x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-10x+\left(x-2\right)\times 8$$

Laske lukujen x-2 ja 8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-10x+8x-16$$

Selvitä -2x yhdistämällä -10x ja 8x.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-2x-16$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-4x-2-5x^{2}=-2x-16$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -5x^{2}.

$$-2x^{2}-4x-2=-2x-16$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$-2x^{2}-4x-2+2x=-16$$

Selvitä -2x yhdistämällä -4x ja 2x.

$$-2x^{2}-2x-2=-16$$

Lisää 16 molemmille puolille.

$$-2x^{2}-2x-2+16=0$$

Selvitä 14 laskemalla yhteen -2 ja 16.

$$-2x^{2}-2x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla -2 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 14.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+112}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 4 lukuun 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{116}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 116 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{29}}{2\left(-2\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{29}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{29}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{29}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{29}.

$$x=\frac{2\sqrt{29}+2}{-4}$$

Jaa 2+2\sqrt{29} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{29}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{29} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{29}}{-4}$$

Jaa 2-2\sqrt{29} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{29}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{29}-1}{2} x=\frac{\sqrt{29}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$3x^{2}-8x+4x-2=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Selvitä -4x yhdistämällä -8x ja 4x.

$$3x^{2}-4x-2=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Laske lukujen 5x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-10x+\left(x-2\right)\times 8$$

Laske lukujen x-2 ja 8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-10x+8x-16$$

Selvitä -2x yhdistämällä -10x ja 8x.

$$3x^{2}-4x-2=5x^{2}-2x-16$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-4x-2-5x^{2}=-2x-16$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -5x^{2}.

$$-2x^{2}-4x-2=-2x-16$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$-2x^{2}-4x-2+2x=-16$$

Selvitä -2x yhdistämällä -4x ja 2x.

$$-2x^{2}-2x-2=-16$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$-2x^{2}-2x=-16+2$$

Selvitä -14 laskemalla yhteen -16 ja 2.

$$-2x^{2}-2x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{14}{-2}$$

Jaa -2 luvulla -2.

$$x^{2}+x=-\frac{14}{-2}$$

Jaa -14 luvulla -2.

$$x^{2}+x=7$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=7+\frac{1}{4}$$

Lisää 7 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{29}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{29}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{29}-1}{2}$$