Ratkaise 3/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 3 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\times 3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 4x yhdistämällä 3x ja x.

$$4x-3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -2 laskemalla yhteen -3 ja 1.

$$4x-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$4x-2=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x-2-x^{2}=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$4x-2-x^{2}+1=0$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -2 ja 1.

$$4x-1-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{12}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-4}{-2}$$

Jaa -4+2\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-4}{-2}$$

Jaa -4-2\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\times 3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 4x yhdistämällä 3x ja x.

$$4x-3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -2 laskemalla yhteen -3 ja 1.

$$4x-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$4x-2=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x-2-x^{2}=-1$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$4x-x^{2}=-1+2$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -1 ja 2.

$$4x-x^{2}=1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 4 luvulla -1.

$$x^{2}-4x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-4x=-1$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Lisää -1 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$