Ratkaise 3/4x^2+2/3x-1/2=0

$$\frac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{70}-4}{9}\approx 0,485177807$$

$$x=\frac{-\sqrt{70}-4}{9}\approx -1,374066696$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{3}{4}, b luvulla \frac{2}{3} ja c luvulla -\frac{1}{2} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\times \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\times \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-3\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Kerro -3 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{3}{2}}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Lisää \frac{4}{9} lukuun \frac{3}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{35}{18}}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Ota luvun \frac{35}{18} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{70}}{6}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{70}}{6}}{\frac{3}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{70}}{6}}{\frac{3}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{\sqrt{70}}{6}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{70}}{6}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}}$$

Jaa -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{70}}{6} luvulla \frac{3}{2} kertomalla -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{70}}{6} luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{\sqrt{70}-4}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{70}}{6}}{\frac{3}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{70}}{6} luvusta -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{70}}{6}-\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}}$$

Jaa -\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{70}}{6} luvulla \frac{3}{2} kertomalla -\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{70}}{6} luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-\sqrt{70}-4}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{70}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{70}-4}{9}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}=0$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Kun luku -\frac{1}{2} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Vähennä -\frac{1}{2} luvusta 0.

$$\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{3}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{3}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{3}{4}.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}}x=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$$

Jaa \frac{2}{3} luvulla \frac{3}{4} kertomalla \frac{2}{3} luvun \frac{3}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$$

Jaa \frac{1}{2} luvulla \frac{3}{4} kertomalla \frac{1}{2} luvun \frac{3}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=\frac{2}{3}$$

Jaa \frac{8}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{9}. Lisää sitten \frac{4}{9}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{2}{3}+\frac{16}{81}$$

Lisää \frac{2}{3} lukuun \frac{16}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{70}{81}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{70}{81}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{70}{81}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{9}=\frac{\sqrt{70}}{9} x+\frac{4}{9}=-\frac{\sqrt{70}}{9}$$

Vähennä \frac{4}{9} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{70}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{70}-4}{9}$$