Ratkaise frac{3sqrt{5}-2}{3sqrt{5}+2}

$$\frac { 3 \sqrt { 5 } - 2 } { 3 \sqrt { 5 } + 2 }$$

Laske

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{41}\approx 0,540663031$$

Ratkaisun vaiheet

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{3\sqrt{5}-2}{3\sqrt{5}+2} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 3\sqrt{5}-2.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}$$

Tarkastele lauseketta \left(3\sqrt{5}+2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kerro 3\sqrt{5}-2 ja 3\sqrt{5}-2, niin saadaan \left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3\sqrt{5}-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$\frac{9\times 5-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kerro 9 ja 5, niin saadaan 45.

$$\frac{45-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Selvitä 49 laskemalla yhteen 45 ja 4.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Lavenna \left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{9\times 5-2^{2}}$$

Kerro 9 ja 5, niin saadaan 45.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{45-2^{2}}$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{45-4}$$

Vähennä 4 luvusta 45 saadaksesi tuloksen 41.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{41}$$