Ratkaise 2x-2x^2/x-2=12

$$\frac { 2 x - 2 x ^ { 2 } } { x - 2 } = 12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} - 5}{2} \approx 1,772001873$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}\approx -6,772001873$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 12 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Selvitä -10x yhdistämällä 2x ja -12x.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Lisää 24 molemmille puolille.

$$-10x-2x^{2}+24=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}-10x+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla -10 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+192}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 100 lukuun 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{292}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 292 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+10}{-4}$$

Jaa 10+2\sqrt{73} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{73} luvusta 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{73}}{-4}$$

Jaa 10-2\sqrt{73} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 12 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Selvitä -10x yhdistämällä 2x ja -12x.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-10x=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}-10x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-2}\right)x=-\frac{24}{-2}$$

Jaa -10 luvulla -2.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-2}$$

Jaa -24 luvulla -2.

$$x^{2}+5x=12$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=12+\frac{25}{4}$$

Lisää 12 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{73}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{73}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{73}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$