Ratkaise 2x-1/x-2=2(1-x)

$$\frac { 2 x - 1 } { x - 2 } = 2 ( 1 - x )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}+1\approx 1+0,707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}+1\approx 1-0,707106781i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$2x-1=2\left(1-x\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 2 ja 1-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-1=\left(2-2x\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 2-2x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x-1=6x-4-2x^{2}$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$2x-1-6x=-4-2x^{2}$$

Selvitä -4x yhdistämällä 2x ja -6x.

$$-4x-1=-4-2x^{2}$$

Vähennä -4 molemmilta puolilta.

$$-4x-1-\left(-4\right)=-2x^{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$-4x-1+4=-2x^{2}$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$-4x-1+4+2x^{2}=0$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen -1 ja 4.

$$-4x+3+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-4x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -4 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

Ota luvun -8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{2}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{2}i}{4}$$

Jaa 4+2i\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{2}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+4}{4}$$

Jaa 4-2i\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-2.

$$2x-1=2\left(1-x\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 2 ja 1-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-1=\left(2-2x\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 2-2x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x-1=6x-4-2x^{2}$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$2x-1-6x=-4-2x^{2}$$

Selvitä -4x yhdistämällä 2x ja -6x.

$$-4x-1=-4-2x^{2}$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$-4x-1+2x^{2}=-4$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$-4x+2x^{2}=-4+1$$

Selvitä -3 laskemalla yhteen -4 ja 1.

$$-4x+2x^{2}=-3$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-4x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=-\frac{3}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{2}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{2}+1$$

Lisää -\frac{3}{2} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{2}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}+1$$