Ratkaise 2x^2-9x-5/x+3=0

$$\frac { 2 x ^ { 2 } - 9 x - 5 } { x + 3 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-9 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$1,-10 2,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -9.

$$a=-10 b=1$$

Kirjoita \left(2x^{2}-10x\right)+\left(x-5\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-9x-5.

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(x-5\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 2x^{2}-10x.

$$2x\left(x-5\right)+x-5$$

Jaa yleinen termi x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-5=0 ja 2x+1=0.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -9 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+40}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±11}{2\times 2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±11}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{9±11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±11}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 11.

$$x=\frac{20}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±11}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 9.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Lisää 5 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$2x^{2}-9x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{4}. Lisää sitten -\frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{121}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Lisää \frac{9}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$