Ratkaise 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$2x+1=4xx$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 2 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Jaa -2+2\sqrt{5} luvulla -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Jaa -2-2\sqrt{5} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$2x+1=4xx$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{-4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Jaa -1 luvulla -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$