Ratkaise 2/x-2+3/x+1=1

$$\frac { 2 } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 1 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{7}+3\approx 5,645751311$$

$$x=3-\sqrt{7}\approx 0,354248689$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-2,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 5x yhdistämällä 2x ja 3x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 6 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Lisää x molemmille puolille.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Selvitä 6x yhdistämällä 5x ja x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$6x-4-x^{2}+2=0$$

Selvitä -2 laskemalla yhteen -4 ja 2.

$$6x-2-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+6x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 6 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 36 lukuun -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Jaa -6+2\sqrt{7} luvulla -2.

$$x=3-\sqrt{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Jaa -6-2\sqrt{7} luvulla -2.

$$x=\sqrt{7}+3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3-\sqrt{7} x=\sqrt{7}+3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-2,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 5x yhdistämällä 2x ja 3x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 6 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Lisää x molemmille puolille.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Selvitä 6x yhdistämällä 5x ja x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$6x-x^{2}=-2+4$$

Selvitä 2 laskemalla yhteen -2 ja 4.

$$6x-x^{2}=2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Jaa 6 luvulla -1.

$$x^{2}-6x=\frac{2}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}-6x=-2$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-2+9$$

Lisää -2 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=7$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$x-3=\sqrt{7} x-3=-\sqrt{7}$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$