Ratkaise 2/x+-3/x+3=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { - 3 } { x + 3 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{10}-2\approx 1,16227766$$

$$x=-\left(\sqrt{10}+2\right)\approx -5,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+3\right), joka on lukujen x,x+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+3\right)\times 2+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x+3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+6+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Selvitä -x yhdistämällä 2x ja x\left(-3\right).

$$-x+6=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x+6=x^{2}+3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}-3x=0$$

Selvitä -4x yhdistämällä -x ja -3x.

$$-4x+6-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-4x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -4 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun 24.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{40}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+4}{-2}$$

Jaa 4+2\sqrt{10} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{10}+2\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{10}}{-2}$$

Jaa 4-2\sqrt{10} luvulla -2.

$$x=\sqrt{10}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{10}+2\right) x=\sqrt{10}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+3\right), joka on lukujen x,x+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+3\right)\times 2+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x+3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+6+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Selvitä -x yhdistämällä 2x ja x\left(-3\right).

$$-x+6=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x+6=x^{2}+3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}-3x=0$$

Selvitä -4x yhdistämällä -x ja -3x.

$$-4x+6-x^{2}=0$$

Vähennä 6 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-4x-x^{2}=-6$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-4x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{6}{-1}$$

Jaa -6 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=6$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=6+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=6+4$$

Lisää 6 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=10$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{10} x+2=-\sqrt{10}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{10}-2 x=-\sqrt{10}-2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{10}-2\approx 1,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}-2\approx -5,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+3\right), joka on lukujen x,x+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+3\right)\times 2+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x+3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+6+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Selvitä -x yhdistämällä 2x ja x\left(-3\right).

$$-x+6=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x+6=x^{2}+3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}-3x=0$$

Selvitä -4x yhdistämällä -x ja -3x.

$$-4x+6-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-4x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -4 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun 24.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{40}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+4}{-2}$$

Jaa 4+2\sqrt{10} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{10}+2\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{10}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{10}}{-2}$$

Jaa 4-2\sqrt{10} luvulla -2.

$$x=\sqrt{10}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{10}+2\right) x=\sqrt{10}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+3\right), joka on lukujen x,x+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+3\right)\times 2+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x+3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+6+x\left(-3\right)=x\left(x+3\right)$$

Selvitä -x yhdistämällä 2x ja x\left(-3\right).

$$-x+6=x\left(x+3\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x+6=x^{2}+3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$-x+6-x^{2}-3x=0$$

Selvitä -4x yhdistämällä -x ja -3x.

$$-4x+6-x^{2}=0$$

Vähennä 6 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-4x-x^{2}=-6$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-4x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{6}{-1}$$

Jaa -6 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=6$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=6+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=6+4$$

Lisää 6 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=10$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{10} x+2=-\sqrt{10}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{10}-2 x=-\sqrt{10}-2$$