Ratkaise 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3$$

$$x=0$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 3x yhdistämällä 2x ja x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -2 ja 1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -1 ja 1.

$$3x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 3^{2} neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 3.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Jaa 0 luvulla -2.

$$x=0$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Jaa -6 luvulla -2.

$$x=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=0 x=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 3x yhdistämällä 2x ja x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -2 ja 1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$3x-x^{2}=-1+1$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -1 ja 1.

$$3x-x^{2}=0$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

Jaa 0 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=0$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=0$$