Ratkaise 2/9a^2-2a-1=0

$$\frac { 2 } { 9 } a ^ { 2 } - 2 a - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a = \frac{3 \sqrt{11} + 9}{2} \approx 9,474937186$$

$$a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}\approx -0,474937186$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{2}{9}, b luvulla -2 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{2}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Korota -2 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{2}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Kerro -4 ja \frac{2}{9}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-\frac{8}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Kerro -\frac{8}{9} ja -1.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+\frac{8}{9}}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Lisää 4 lukuun \frac{8}{9}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\frac{44}{9}}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Ota luvun \frac{44}{9} neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Kerro 2 ja \frac{2}{9}.

$$a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun \frac{2\sqrt{11}}{3}.

$$a=\frac{\frac{2\sqrt{11}}{3}+2}{\frac{4}{9}}$$

Jaa 2+\frac{2\sqrt{11}}{3} luvulla \frac{4}{9} kertomalla 2+\frac{2\sqrt{11}}{3} luvun \frac{4}{9} käänteisluvulla.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2\sqrt{11}}{3} luvusta 2.

$$a=\frac{-\frac{2\sqrt{11}}{3}+2}{\frac{4}{9}}$$

Jaa 2-\frac{2\sqrt{11}}{3} luvulla \frac{4}{9} kertomalla 2-\frac{2\sqrt{11}}{3} luvun \frac{4}{9} käänteisluvulla.

$$a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2} a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a=1$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{2}{9}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{2}{9}a^{2}-2a}{\frac{2}{9}}=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Jakaminen luvulla \frac{2}{9} kumoaa kertomisen luvulla \frac{2}{9}.

$$a^{2}+\left(-\frac{2}{\frac{2}{9}}\right)a=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Jaa -2 luvulla \frac{2}{9} kertomalla -2 luvun \frac{2}{9} käänteisluvulla.

$$a^{2}-9a=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Jaa 1 luvulla \frac{2}{9} kertomalla 1 luvun \frac{2}{9} käänteisluvulla.

$$a^{2}-9a=\frac{9}{2}$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-9a+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-9a+\frac{81}{4}=\frac{9}{2}+\frac{81}{4}$$

Lisää \frac{9}{2} lukuun \frac{81}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$a^{2}-9a+\frac{81}{4}=\frac{99}{4}$$

Jaa a^{2}-9a+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{99}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{99}{4}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{11}}{2} a-\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{11}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2} a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$