Ratkaise 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Ratkaise muuttujan p suhteen

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja p ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla p\left(p+2\right), joka on lukujen p,p+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p+2 ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p ja 6p-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Selvitä 10p yhdistämällä 15p ja -5p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p ja p+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Vähennä p^{2} molemmilta puolilta.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Selvitä 5p^{2} yhdistämällä 6p^{2} ja -p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Vähennä 2p molemmilta puolilta.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Selvitä 8p yhdistämällä 10p ja -2p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 8 ja c luvulla 30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Korota 8 neliöön.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Lisää 64 lukuun -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Ota luvun -536 neliöjuuri.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Jaa -8+2i\sqrt{134} luvulla 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{134} luvusta -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Jaa -8-2i\sqrt{134} luvulla 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja p ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla p\left(p+2\right), joka on lukujen p,p+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p+2 ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p ja 6p-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Selvitä 10p yhdistämällä 15p ja -5p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Laske lukujen p ja p+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Vähennä p^{2} molemmilta puolilta.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Selvitä 5p^{2} yhdistämällä 6p^{2} ja -p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Vähennä 2p molemmilta puolilta.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Selvitä 8p yhdistämällä 10p ja -2p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Jaa -30 luvulla 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Jaa \frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{5}. Lisää sitten \frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Lisää -6 lukuun \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Jaa p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Sievennä.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

Vähennä \frac{4}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$