Ratkaise 13/4x^2-x-11=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - x - 11 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{22}{13} = -1\frac{9}{13} \approx -1,692307692$$

$$x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{13}{4}x^{2}-x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{13}{4}, b luvulla -1 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{13}{4}\left(-11\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-13\left(-11\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro -13 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+143}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Lisää 1 lukuun 143.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{144}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±12}{2\times \frac{13}{4}}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±12}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{13}{4}.

$$x=\frac{1±12}{\frac{13}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±12}{\frac{13}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 12.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Jaa 13 luvulla \frac{13}{2} kertomalla 13 luvun \frac{13}{2} käänteisluvulla.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±12}{\frac{13}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta 1.

$$x=-\frac{11}{\frac{13}{2}}$$

Jaa -11 luvulla \frac{13}{2} kertomalla -11 luvun \frac{13}{2} käänteisluvulla.

$$x=-\frac{22}{13}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=-\frac{22}{13}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-x-11=0$$

Lisää 11 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{13}{4}x^{2}-x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kun luku -11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-x=-\left(-11\right)$$

Vähennä -11 luvusta 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-x=11$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{13}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-x}{\frac{13}{4}}=\frac{11}{\frac{13}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{13}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{11}{\frac{13}{4}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{13}{4} kertomalla -1 luvun \frac{13}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4}{13}x=\frac{11}{\frac{13}{4}}$$

Jaa 11 luvulla \frac{13}{4} kertomalla 11 luvun \frac{13}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4}{13}x=\frac{44}{13}$$

Jaa -\frac{4}{13} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{13}. Lisää sitten -\frac{2}{13}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{13}x+\left(-\frac{2}{13}\right)^{2}=\frac{44}{13}+\left(-\frac{2}{13}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{13} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{13}x+\frac{4}{169}=\frac{44}{13}+\frac{4}{169}$$

Lisää \frac{44}{13} lukuun \frac{4}{169} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{13}x+\frac{4}{169}=\frac{576}{169}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{13}x+\frac{4}{169} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{13}\right)^{2}=\frac{576}{169}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{169}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{13}=\frac{24}{13} x-\frac{2}{13}=-\frac{24}{13}$$

Lisää \frac{2}{13} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=-\frac{22}{13}$$