Ratkaise 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0,769230769$$

$$x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{13}{4}, b luvulla -4 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro -13 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Lisää 16 lukuun 65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{13}{4}.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 9.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Jaa 13 luvulla \frac{13}{2} kertomalla 13 luvun \frac{13}{2} käänteisluvulla.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 4.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

Jaa -5 luvulla \frac{13}{2} kertomalla -5 luvun \frac{13}{2} käänteisluvulla.

$$x=-\frac{10}{13}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{13}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{13}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Jaa -4 luvulla \frac{13}{4} kertomalla -4 luvun \frac{13}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Jaa 5 luvulla \frac{13}{4} kertomalla 5 luvun \frac{13}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

Jaa -\frac{16}{13} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{8}{13}. Lisää sitten -\frac{8}{13}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

Korota -\frac{8}{13} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

Lisää \frac{20}{13} lukuun \frac{64}{169} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

Jaa x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

Lisää \frac{8}{13} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$