Ratkaise 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x-2,x^{2}-4 pienin yhteinen jaettava.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä 4 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-2\right)\left(x+2\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 2 neliöön.

$$x-2=x^{2}-4$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Selvitä 2 laskemalla yhteen -2 ja 4.

$$x+2-x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=2 b=-1$$

Kirjoita \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right) uudelleen muodossa -x^{2}+x+2.

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-2=0 ja -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2.

$$x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x-2,x^{2}-4 pienin yhteinen jaettava.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä 4 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-2\right)\left(x+2\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 2 neliöön.

$$x-2=x^{2}-4$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Selvitä 2 laskemalla yhteen -2 ja 4.

$$x+2-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Jaa 2 luvulla -2.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Jaa -4 luvulla -2.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=2$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2.

$$x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x-2,x^{2}-4 pienin yhteinen jaettava.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä 4 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-2\right)\left(x+2\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 2 neliöön.

$$x-2=x^{2}-4$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$x-x^{2}=-4+2$$

Selvitä -2 laskemalla yhteen -4 ja 2.

$$x-x^{2}=-2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

Jaa -2 luvulla -1.

$$x^{2}-x=2$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Lisää 2 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=-1$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2.

$$x=-1$$