Ratkaise 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 1,4, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), joka on lukujen x-1,x-4,4 pienin yhteinen jaettava.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Selvitä 8x yhdistämällä 4x ja 4x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Vähennä 4 luvusta -16 saadaksesi tuloksen -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 5 ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 5x-20 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Lisää 25x molemmille puolille.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Selvitä 33x yhdistämällä 8x ja 25x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Vähennä 20 molemmilta puolilta.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Vähennä 20 luvusta -20 saadaksesi tuloksen -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 33 ja c luvulla -40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 33 neliöön.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 1089 lukuun -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun 289 neliöjuuri.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±17}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -33 lukuun 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{-10} luvulla 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±17}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 17 luvusta -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Jaa -50 luvulla -10.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 1,4, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), joka on lukujen x-1,x-4,4 pienin yhteinen jaettava.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Selvitä 8x yhdistämällä 4x ja 4x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Vähennä 4 luvusta -16 saadaksesi tuloksen -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 5 ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 5x-20 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Lisää 25x molemmille puolille.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Selvitä 33x yhdistämällä 8x ja 25x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Lisää 20 molemmille puolille.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Selvitä 40 laskemalla yhteen 20 ja 20.

$$33x-5x^{2}=40$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Jaa 33 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Jaa 40 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Jaa -\frac{33}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{33}{10}. Lisää sitten -\frac{33}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{33}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Lisää -8 lukuun \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Lisää \frac{33}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$