Ratkaise 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Selvitä 5x yhdistämällä x ja x\times 4.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Selvitä 6x yhdistämällä 5x ja x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Laske lukujen x+1 ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Vähennä 15x molemmilta puolilta.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Selvitä -9x yhdistämällä 6x ja -15x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Vähennä 15 molemmilta puolilta.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Vähennä 15 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -9 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Lisää 81 lukuun 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{137} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Selvitä 5x yhdistämällä x ja x\times 4.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Selvitä 6x yhdistämällä 5x ja x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Laske lukujen x+1 ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Vähennä 15x molemmilta puolilta.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Selvitä -9x yhdistämällä 6x ja -15x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Vähennä 1 luvusta 15 saadaksesi tuloksen 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Lisää 14 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$