Ratkaise 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

Ratkaisun vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -8,-5,-2,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), joka on lukujen x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21 pienin yhteinen jaettava.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21x+105 ja x+8 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21x-21 ja x+8 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Selvitä 42x^{2} yhdistämällä 21x^{2} ja 21x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Selvitä 420x yhdistämällä 273x ja 147x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Vähennä 168 luvusta 840 saadaksesi tuloksen 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 21x+42 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Selvitä 63x^{2} yhdistämällä 42x^{2} ja 21x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Selvitä 441x yhdistämällä 420x ja 21x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Vähennä 42 luvusta 672 saadaksesi tuloksen 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 7 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 7x+14 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Laske lukujen 7x^{2}+49x+70 ja x+8 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kerro 21 ja -\frac{1}{21}, niin saadaan -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Laske lukujen -1 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Laske lukujen -x+1 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Laske lukujen -x^{2}-x+2 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Laske lukujen -x^{3}-6x^{2}-3x+10 ja x+8 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Selvitä -7x^{3} yhdistämällä 7x^{3} ja -14x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Selvitä 54x^{2} yhdistämällä 105x^{2} ja -51x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Selvitä 448x yhdistämällä 462x ja -14x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Selvitä 640 laskemalla yhteen 560 ja 80.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Lisää 7x^{3} molemmille puolille.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Vähennä 54x^{2} molemmilta puolilta.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Selvitä 9x^{2} yhdistämällä 63x^{2} ja -54x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Vähennä 448x molemmilta puolilta.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Selvitä -7x yhdistämällä 441x ja -448x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Vähennä 640 molemmilta puolilta.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Vähennä 640 luvusta 630 saadaksesi tuloksen -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Lisää x^{4} molemmille puolille.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Järjestä yhtälö perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -10 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}+8x^{2}+17x+10. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 10 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}+8x^{2}+17x+10 luvulla x+1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+7x+10. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 7 tilalle b ja muuttujan 10 tilalle c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Ratkaise yhtälö x^{2}+7x+10=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-5 x=-2$$

Poista arvot, joita muuttuja ei voi olla yhtä suuri kuin.

$$x=-1$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 1,-5,-2.

$$x=-1$$