Ratkaise 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava.

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Selvitä 2x yhdistämällä x ja x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -2 ja 3.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Laske lukujen x-2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}-2x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Selvitä 9x yhdistämällä 7x ja 2x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Selvitä -7x yhdistämällä 2x ja -9x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -7 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Lisää 49 lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Ota luvun 45 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{5} luvusta 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava.

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Selvitä 2x yhdistämällä x ja x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -2 ja 3.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Laske lukujen x-2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}-2x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Selvitä 9x yhdistämällä 7x ja 2x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Selvitä -7x yhdistämällä 2x ja -9x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$