Ratkaise 1/8x^2-3/4x=2

$$\frac { 1 } { 8 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } x = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{8}, b luvulla -\frac{3}{4} ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}-4\times \frac{1}{8}\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{8}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}-\frac{1}{2}\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Kerro -\frac{1}{2} ja -2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}+1}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Lisää \frac{9}{16} lukuun 1.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{25}{16}}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Ota luvun \frac{25}{16} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\frac{5}{4}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Luvun -\frac{3}{4} vastaluku on \frac{3}{4}.

$$x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{5}{4}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{8}.

$$x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{5}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{2}{\frac{1}{4}}$$

Jaa 2 luvulla \frac{1}{4} kertomalla 2 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x=8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{5}{4} luvusta \frac{3}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$$

Jaa -\frac{1}{2} luvulla \frac{1}{4} kertomalla -\frac{1}{2} luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=8 x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x=2$$

Kerro molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x}{\frac{1}{8}}=\frac{2}{\frac{1}{8}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{8} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}\right)x=\frac{2}{\frac{1}{8}}$$

Jaa -\frac{3}{4} luvulla \frac{1}{8} kertomalla -\frac{3}{4} luvun \frac{1}{8} käänteisluvulla.

$$x^{2}-6x=\frac{2}{\frac{1}{8}}$$

Jaa 2 luvulla \frac{1}{8} kertomalla 2 luvun \frac{1}{8} käänteisluvulla.

$$x^{2}-6x=16$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=16+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=16+9$$

Lisää 16 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=25$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sievennä.

$$x-3=5 x-3=-5$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=8 x=-2$$