Ratkaise 1/3x-2=2x-3

$$\frac { 1 } { 3 x } - 2 = 2 x - 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}\approx 0,728713554$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}\approx -0,228713554$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3x.

$$1+3x\left(-2\right)=2x\times 3x+3x\left(-3\right)$$

Kerro 3 ja -2, niin saadaan -6.

$$1-6x=2x\times 3x+3x\left(-3\right)$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$1-6x=2x^{2}\times 3+3x\left(-3\right)$$

Kerro 2 ja 3, niin saadaan 6.

$$1-6x=6x^{2}+3x\left(-3\right)$$

Kerro 3 ja -3, niin saadaan -9.

$$1-6x=6x^{2}-9x$$

Vähennä 6x^{2} molemmilta puolilta.

$$1-6x-6x^{2}=-9x$$

Lisää 9x molemmille puolille.

$$1-6x-6x^{2}+9x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä -6x ja 9x.

$$1+3x-6x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-6x^{2}+3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla 3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 9 lukuun 24.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{-12}$$

Jaa -3+\sqrt{33} luvulla -12.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{-12}$$

Jaa -3-\sqrt{33} luvulla -12.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4} x=\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3x.

$$1+3x\left(-2\right)=2x\times 3x+3x\left(-3\right)$$

Kerro 3 ja -2, niin saadaan -6.

$$1-6x=2x\times 3x+3x\left(-3\right)$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$1-6x=2x^{2}\times 3+3x\left(-3\right)$$

Kerro 2 ja 3, niin saadaan 6.

$$1-6x=6x^{2}+3x\left(-3\right)$$

Kerro 3 ja -3, niin saadaan -9.

$$1-6x=6x^{2}-9x$$

Vähennä 6x^{2} molemmilta puolilta.

$$1-6x-6x^{2}=-9x$$

Lisää 9x molemmille puolille.

$$1-6x-6x^{2}+9x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä -6x ja 9x.

$$1+3x-6x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-6x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+3x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{1}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{1}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{3}{-6} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-6}$$

Jaa -1 luvulla -6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{6}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{11}{48}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{11}{48}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{48}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{12}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{33}}{12}+\frac{1}{4}$$