Ratkaise 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{3}, b luvulla \frac{4}{5} ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Korota \frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro -\frac{4}{3} ja -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Lisää \frac{16}{25} lukuun \frac{4}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ota luvun \frac{148}{75} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{4}{5} lukuun \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Jaa -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} luvulla \frac{2}{3} kertomalla -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} luvun \frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2\sqrt{111}}{15} luvusta -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Jaa -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} luvulla \frac{2}{3} kertomalla -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} luvun \frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Kerro molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{3} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Jaa \frac{4}{5} luvulla \frac{1}{3} kertomalla \frac{4}{5} luvun \frac{1}{3} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Jaa 1 luvulla \frac{1}{3} kertomalla 1 luvun \frac{1}{3} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Jaa \frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{6}{5}. Lisää sitten \frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Lisää 3 lukuun \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Vähennä \frac{6}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$