Ratkaise 1/2x^2+x-12=0

$$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x - 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-6$$

$$x=4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{2}, b luvulla 1 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{2}\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-2\left(-12\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kerro -2 ja -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Lisää 1 lukuun 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±5}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1±5}{1}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±5}{1}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 5.

$$x=\frac{4}{1}$$

Jaa 4 luvulla 1.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±5}{1}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -1.

$$x=-\frac{6}{1}$$

Jaa -6 luvulla 1.

$$x=-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+x=12$$

Kerro molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+x}{\frac{1}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}x=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 1 luvulla \frac{1}{2} kertomalla 1 luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+2x=\frac{12}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 12 luvulla \frac{1}{2} kertomalla 12 luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+2x=24$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=24+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=24+1$$

Lisää 24 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=25$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sievennä.

$$x+1=5 x+1=-5$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-6$$