Ratkaise 1/2(4^2+(8-x)^2+(4+x)^2)=88

$$\frac { 1 } { 2 } ( 4 ^ { 2 } + ( 8 - x ) ^ { 2 } + ( 4 + x ) ^ { 2 } ) = 88$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{11}+2\approx 8,633249581$$

$$x=2-2\sqrt{11}\approx -4,633249581$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro molemmat puolet luvulla 2, luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$4^{2}+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=88\times 2$$

Kerro 88 ja 2, niin saadaan 176.

$$4^{2}+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(8-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$16+64-16x+x^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Selvitä 80 laskemalla yhteen 16 ja 64.

$$80-16x+x^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$80-16x+x^{2}+16+8x+x^{2}=176$$

Selvitä 96 laskemalla yhteen 80 ja 16.

$$96-16x+x^{2}+8x+x^{2}=176$$

Selvitä -8x yhdistämällä -16x ja 8x.

$$96-8x+x^{2}+x^{2}=176$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$96-8x+2x^{2}=176$$

Vähennä 176 molemmilta puolilta.

$$96-8x+2x^{2}-176=0$$

Vähennä 176 luvusta 96 saadaksesi tuloksen -80.

$$-80-8x+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-8x-80=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -8 ja c luvulla -80 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-80\right)}}{2\times 2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-80\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-80\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+640}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun 640.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{704}}{2\times 2}$$

Ota luvun 704 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{11}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{11}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 8\sqrt{11}.

$$x=\frac{8\sqrt{11}+8}{4}$$

Jaa 8+8\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=2\sqrt{11}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{11}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{11} luvusta 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{11}}{4}$$

Jaa 8-8\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=2-2\sqrt{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{11}+2 x=2-2\sqrt{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro molemmat puolet luvulla 2, luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$4^{2}+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=88\times 2$$

Kerro 88 ja 2, niin saadaan 176.

$$4^{2}+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16+\left(8-x\right)^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(8-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$16+64-16x+x^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Selvitä 80 laskemalla yhteen 16 ja 64.

$$80-16x+x^{2}+\left(4+x\right)^{2}=176$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$80-16x+x^{2}+16+8x+x^{2}=176$$

Selvitä 96 laskemalla yhteen 80 ja 16.

$$96-16x+x^{2}+8x+x^{2}=176$$

Selvitä -8x yhdistämällä -16x ja 8x.

$$96-8x+x^{2}+x^{2}=176$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$96-8x+2x^{2}=176$$

Vähennä 96 molemmilta puolilta.

$$-8x+2x^{2}=176-96$$

Vähennä 96 luvusta 176 saadaksesi tuloksen 80.

$$-8x+2x^{2}=80$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x=80$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{80}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{80}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=\frac{80}{2}$$

Jaa 80 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=40$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=40+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=40+4$$

Lisää 40 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=44$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=44$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{44}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{11} x-2=-2\sqrt{11}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{11}+2 x=2-2\sqrt{11}$$