Ratkaise 1/16x^2-4x+16=0

$$\frac { 1 } { 16 } x ^ { 2 } - 4 x + 16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=16\sqrt{3}+32\approx 59,712812921$$

$$x=32-16\sqrt{3}\approx 4,287187079$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{16}x^{2}-4x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{16}, b luvulla -4 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{1}{16}\times 16}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{1}{16}\times 16}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{16}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-\frac{1}{4}\times 16}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Kerro -\frac{1}{4} ja 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Lisää 16 lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{16}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{16}.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{\frac{1}{8}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{3}}{\frac{1}{8}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{\frac{1}{8}}$$

Jaa 4+2\sqrt{3} luvulla \frac{1}{8} kertomalla 4+2\sqrt{3} luvun \frac{1}{8} käänteisluvulla.

$$x=16\sqrt{3}+32$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{3}}{\frac{1}{8}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{\frac{1}{8}}$$

Jaa 4-2\sqrt{3} luvulla \frac{1}{8} kertomalla 4-2\sqrt{3} luvun \frac{1}{8} käänteisluvulla.

$$x=32-16\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=16\sqrt{3}+32 x=32-16\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{16}x^{2}-4x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{16}x^{2}-4x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{16}x^{2}-4x=-16$$

Kerro molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{\frac{1}{16}x^{2}-4x}{\frac{1}{16}}=-\frac{16}{\frac{1}{16}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{16} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{1}{16}}\right)x=-\frac{16}{\frac{1}{16}}$$

Jaa -4 luvulla \frac{1}{16} kertomalla -4 luvun \frac{1}{16} käänteisluvulla.

$$x^{2}-64x=-\frac{16}{\frac{1}{16}}$$

Jaa -16 luvulla \frac{1}{16} kertomalla -16 luvun \frac{1}{16} käänteisluvulla.

$$x^{2}-64x=-256$$

Jaa -64 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -32. Lisää sitten -32:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-64x+\left(-32\right)^{2}=-256+\left(-32\right)^{2}$$

Korota -32 neliöön.

$$x^{2}-64x+1024=-256+1024$$

Lisää -256 lukuun 1024.

$$x^{2}-64x+1024=768$$

Jaa x^{2}-64x+1024 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-32\right)^{2}=768$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-32\right)^{2}}=\sqrt{768}$$

Sievennä.

$$x-32=16\sqrt{3} x-32=-16\sqrt{3}$$

Lisää 32 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=16\sqrt{3}+32 x=32-16\sqrt{3}$$