Ratkaise 1/10x^2-3/2x+5=0

$$\frac { 1 } { 10 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x=10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{10}x^{2}-\frac{3}{2}x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{10}, b luvulla -\frac{3}{2} ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times \frac{1}{10}\times 5}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times \frac{1}{10}\times 5}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{10}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{2}{5}\times 5}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Kerro -\frac{2}{5} ja 5.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun -2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Ota luvun \frac{1}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{1}{2}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Luvun -\frac{3}{2} vastaluku on \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{1}{2}}{2\times \frac{1}{10}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{1}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{2}{\frac{1}{5}}$$

Jaa 2 luvulla \frac{1}{5} kertomalla 2 luvun \frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{1}{2} luvusta \frac{3}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{1}{\frac{1}{5}}$$

Jaa 1 luvulla \frac{1}{5} kertomalla 1 luvun \frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{10}x^{2}-\frac{3}{2}x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{10}x^{2}-\frac{3}{2}x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{10}x^{2}-\frac{3}{2}x=-5$$

Kerro molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{\frac{1}{10}x^{2}-\frac{3}{2}x}{\frac{1}{10}}=-\frac{5}{\frac{1}{10}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{10} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{10}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{10}}\right)x=-\frac{5}{\frac{1}{10}}$$

Jaa -\frac{3}{2} luvulla \frac{1}{10} kertomalla -\frac{3}{2} luvun \frac{1}{10} käänteisluvulla.

$$x^{2}-15x=-\frac{5}{\frac{1}{10}}$$

Jaa -5 luvulla \frac{1}{10} kertomalla -5 luvun \frac{1}{10} käänteisluvulla.

$$x^{2}-15x=-50$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-50+\frac{225}{4}$$

Lisää -50 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=5$$