Ratkaise 1/1+x^2

$$\frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } }$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään ketjusääntöä

Jos F on kahden derivoituvan funktion, f\left(u\right) ja u=g\left(x\right), yhdistelmä, eli jos F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), niin F:n derivaatta on f:n derivaatta u:n suhteen kertaa g:n derivaatta x:n suhteen, eli \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(x^{2}+1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+1)$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$-\left(x^{2}+1\right)^{-2}\times 2x^{2-1}$$

Sievennä.

$$-2x^{1}\left(x^{2}+1\right)^{-2}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$-2x\left(x^{2}+1\right)^{-2}$$

Laske

$$\frac{1}{x^{2}+1}$$