Ratkaise 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x-3,x^{2}-4 pienin yhteinen jaettava.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -2x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Lisää 5x molemmille puolille.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -4 ja 3.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 5 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 25 lukuun -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Jaa -5+\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{21} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Jaa -5-\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x-3,x^{2}-4 pienin yhteinen jaettava.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -2x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Lisää 5x molemmille puolille.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -3 ja 4.

$$-x^{2}+5x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 5 luvulla -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$