Ratkaise -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

Ratkaise muuttujan f suhteen

$$f=-7$$

$$f=-6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja f ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{21}{5},-3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), joka on lukujen 10f+42,f+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Laske lukujen f+3 ja -f tulo käyttämällä osittelulakia.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Vähennä 10f molemmilta puolilta.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

Kerro f ja f, niin saadaan f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

Kerro 3 ja -1, niin saadaan -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

Selvitä -13f yhdistämällä -3f ja -10f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-f^{2}-13f-42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -13 ja c luvulla -42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -13 neliöön.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -42.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 169 lukuun -168.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{13±1}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun 1.

$$f=\frac{14}{-2}$$

Jaa 14 luvulla -2.

$$f=-7$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{13±1}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 13.

$$f=\frac{12}{-2}$$

Jaa 12 luvulla -2.

$$f=-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$f=-7 f=-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja f ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{21}{5},-3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), joka on lukujen 10f+42,f+3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Laske lukujen f+3 ja -f tulo käyttämällä osittelulakia.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Vähennä 10f molemmilta puolilta.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Kerro f ja f, niin saadaan f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

Kerro 3 ja -1, niin saadaan -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

Selvitä -13f yhdistämällä -3f ja -10f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-f^{2}-13f=42$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

Jaa -13 luvulla -1.

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

Jaa 42 luvulla -1.

$$f^{2}+13f=-42$$

Jaa 13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{13}{2}. Lisää sitten \frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Lisää -42 lukuun \frac{169}{4}.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa f^{2}+13f+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Vähennä \frac{13}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$f=-6 f=-7$$