Ratkaise -32x^2/130^2+x=264

$$\frac { - 32 x ^ { 2 } } { 130 ^ { 2 } } + x = 264$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{4225+65\sqrt{4223}i}{16}\approx 264,0625+263,999992602i$$

$$x=\frac{-65\sqrt{4223}i+4225}{16}\approx 264,0625-263,999992602i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 130 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16900.

$$\frac{-32x^{2}}{16900}+x=264$$

Jaa -32x^{2} luvulla 16900, jolloin ratkaisuksi tulee -\frac{8}{4225}x^{2}.

$$-\frac{8}{4225}x^{2}+x=264$$

Vähennä 264 molemmilta puolilta.

$$-\frac{8}{4225}x^{2}+x-264=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{8}{4225}, b luvulla 1 ja c luvulla -264 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-\frac{8}{4225}\right)\left(-264\right)}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-\frac{8}{4225}\right)\left(-264\right)}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{8}{4225}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+\frac{32}{4225}\left(-264\right)}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Kerro \frac{32}{4225} ja -264.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{8448}{4225}}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Lisää 1 lukuun -\frac{8448}{4225}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-\frac{4223}{4225}}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Ota luvun -\frac{4223}{4225} neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\frac{\sqrt{4223}i}{65}}{2\left(-\frac{8}{4225}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{8}{4225}.

$$x=\frac{-1±\frac{\sqrt{4223}i}{65}}{-\frac{16}{4225}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\frac{\sqrt{4223}i}{65}}{-\frac{16}{4225}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \frac{i\sqrt{4223}}{65}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{4223}i}{65}-1}{-\frac{16}{4225}}$$

Jaa -1+\frac{i\sqrt{4223}}{65} luvulla -\frac{16}{4225} kertomalla -1+\frac{i\sqrt{4223}}{65} luvun -\frac{16}{4225} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-65\sqrt{4223}i+4225}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\frac{\sqrt{4223}i}{65}}{-\frac{16}{4225}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{4223}}{65} luvusta -1.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{4223}i}{65}-1}{-\frac{16}{4225}}$$

Jaa -1-\frac{i\sqrt{4223}}{65} luvulla -\frac{16}{4225} kertomalla -1-\frac{i\sqrt{4223}}{65} luvun -\frac{16}{4225} käänteisluvulla.

$$x=\frac{4225+65\sqrt{4223}i}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-65\sqrt{4223}i+4225}{16} x=\frac{4225+65\sqrt{4223}i}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 130 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16900.

$$\frac{-32x^{2}}{16900}+x=264$$

Jaa -32x^{2} luvulla 16900, jolloin ratkaisuksi tulee -\frac{8}{4225}x^{2}.

$$-\frac{8}{4225}x^{2}+x=264$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{8}{4225}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{8}{4225}x^{2}+x}{-\frac{8}{4225}}=\frac{264}{-\frac{8}{4225}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{8}{4225} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{8}{4225}.

$$x^{2}+\frac{1}{-\frac{8}{4225}}x=\frac{264}{-\frac{8}{4225}}$$

Jaa 1 luvulla -\frac{8}{4225} kertomalla 1 luvun -\frac{8}{4225} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4225}{8}x=\frac{264}{-\frac{8}{4225}}$$

Jaa 264 luvulla -\frac{8}{4225} kertomalla 264 luvun -\frac{8}{4225} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4225}{8}x=-139425$$

Jaa -\frac{4225}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4225}{16}. Lisää sitten -\frac{4225}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4225}{8}x+\left(-\frac{4225}{16}\right)^{2}=-139425+\left(-\frac{4225}{16}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4225}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4225}{8}x+\frac{17850625}{256}=-139425+\frac{17850625}{256}$$

Lisää -139425 lukuun \frac{17850625}{256}.

$$x^{2}-\frac{4225}{8}x+\frac{17850625}{256}=-\frac{17842175}{256}$$

Jaa x^{2}-\frac{4225}{8}x+\frac{17850625}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4225}{16}\right)^{2}=-\frac{17842175}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4225}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17842175}{256}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4225}{16}=\frac{65\sqrt{4223}i}{16} x-\frac{4225}{16}=-\frac{65\sqrt{4223}i}{16}$$

Lisää \frac{4225}{16} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4225+65\sqrt{4223}i}{16} x=\frac{-65\sqrt{4223}i+4225}{16}$$