Ratkaise (x+3)/(x-2)-8/3=(x+2)/(x-1)

$$\frac { ( x + 3 ) } { ( x - 2 ) } - \frac { 8 } { 3 } = \frac { ( x + 2 ) } { ( x - 1 ) }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4} = 3,25$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3\left(x-2\right)\left(x-1\right), joka on lukujen x-2,3,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(3x-3\right)\left(x+3\right)+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}+6x-9+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Kerro 3 ja -\frac{8}{3}, niin saadaan -8.

$$3x^{2}+6x-9-8\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen -8 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}+6x-9+\left(-8x+16\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen -8x+16 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}+6x-9-8x^{2}+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Selvitä -5x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -8x^{2}.

$$-5x^{2}+6x-9+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Selvitä 30x yhdistämällä 6x ja 24x.

$$-5x^{2}+30x-9-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä 16 luvusta -9 saadaksesi tuloksen -25.

$$-5x^{2}+30x-25=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen 3x-6 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-5x^{2}+30x-25=3x^{2}-12$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}+30x-25-3x^{2}=-12$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä -5x^{2} ja -3x^{2}.

$$-8x^{2}+30x-25=-12$$

Lisää 12 molemmille puolille.

$$-8x^{2}+30x-25+12=0$$

Selvitä -13 laskemalla yhteen -25 ja 12.

$$-8x^{2}+30x-13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -8, b luvulla 30 ja c luvulla -13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-8\right)\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-8\right)\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+32\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja -13.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-416}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 900 lukuun -416.

$$x=\frac{-30±\sqrt{484}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 484 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±22}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$x=\frac{-30±22}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±22}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 22.

$$x=-\frac{8}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{-16} luvulla 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±22}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 22 luvusta -30.

$$x=-\frac{52}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{-52}{-16} luvulla 4.

$$x=\frac{13}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{13}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3\left(x-2\right)\left(x-1\right), joka on lukujen x-2,3,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(3x-3\right)\left(x+3\right)+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}+6x-9+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Kerro 3 ja -\frac{8}{3}, niin saadaan -8.

$$3x^{2}+6x-9-8\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen -8 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}+6x-9+\left(-8x+16\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen -8x+16 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}+6x-9-8x^{2}+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Selvitä -5x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -8x^{2}.

$$-5x^{2}+6x-9+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Selvitä 30x yhdistämällä 6x ja 24x.

$$-5x^{2}+30x-9-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä 16 luvusta -9 saadaksesi tuloksen -25.

$$-5x^{2}+30x-25=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Laske lukujen 3x-6 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-5x^{2}+30x-25=3x^{2}-12$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}+30x-25-3x^{2}=-12$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä -5x^{2} ja -3x^{2}.

$$-8x^{2}+30x-25=-12$$

Lisää 25 molemmille puolille.

$$-8x^{2}+30x=-12+25$$

Selvitä 13 laskemalla yhteen -12 ja 25.

$$-8x^{2}+30x=13$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$\frac{-8x^{2}+30x}{-8}=\frac{13}{-8}$$

Jakaminen luvulla -8 kumoaa kertomisen luvulla -8.

$$x^{2}+\frac{30}{-8}x=\frac{13}{-8}$$

Supista murtoluku \frac{30}{-8} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=\frac{13}{-8}$$

Jaa 13 luvulla -8.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{13}{8}$$

Jaa -\frac{15}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{8}. Lisää sitten -\frac{15}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{13}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{13}{8}+\frac{225}{64}$$

Lisää -\frac{13}{8} lukuun \frac{225}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{121}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{11}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{11}{8}$$

Lisää \frac{15}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{13}{4} x=\frac{1}{2}$$