Ratkaise (4+3i)(1-2i)/(4-3i)(1+2i)

$$\frac { ( 4 + 3 i ) ( 1 - 2 i ) } { ( 4 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) }$$

Laske

$$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i=0,6-0,8i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro kompleksiluvut 4+3i ja 1-2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)i^{2}}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right)}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right).

$$\frac{4-8i+3i+6}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Yhdistä lukujen 4-8i+3i+6 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{4+6+\left(-8+3\right)i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 4+6+\left(-8+3\right)i.

$$\frac{10-5i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Kerro kompleksiluvut 4-3i ja 1+2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right)}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right).

$$\frac{10-5i}{4+8i-3i+6}$$

Yhdistä lukujen 4+8i-3i+6 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{10-5i}{4+6+\left(8-3\right)i}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 4+6+\left(8-3\right)i.

$$\frac{10-5i}{10+5i}$$

Kerro sekä osoittaja että nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 10-5i.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{\left(10+5i\right)\left(10-5i\right)}$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{10^{2}-5^{2}i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{125}$$

Kerro kompleksiluvut 10-5i ja 10-5i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)i^{2}}{125}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right)}{125}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right).

$$\frac{100-50i-50i-25}{125}$$

Yhdistä lukujen 100-50i-50i-25 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{100-25+\left(-50-50\right)i}{125}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 100-25+\left(-50-50\right)i.

$$\frac{75-100i}{125}$$

Jaa 75-100i luvulla 125, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i.

$$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

Reaaliosa

$$\frac{3}{5} = 0,6$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro kompleksiluvut 4+3i ja 1-2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)i^{2}}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right)}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{4-8i+3i+6}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Yhdistä lukujen 4-8i+3i+6 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{4+6+\left(-8+3\right)i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 4+6+\left(-8+3\right)i.

$$Re(\frac{10-5i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Kerro kompleksiluvut 4-3i ja 1+2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right)})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right).

$$Re(\frac{10-5i}{4+8i-3i+6})$$

Yhdistä lukujen 4+8i-3i+6 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{10-5i}{4+6+\left(8-3\right)i})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 4+6+\left(8-3\right)i.

$$Re(\frac{10-5i}{10+5i})$$

Kerro sekä luvun \frac{10-5i}{10+5i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 10-5i.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{\left(10+5i\right)\left(10-5i\right)})$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{10^{2}-5^{2}i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{125})$$

Kerro kompleksiluvut 10-5i ja 10-5i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)i^{2}}{125})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right)}{125})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{100-50i-50i-25}{125})$$

Yhdistä lukujen 100-50i-50i-25 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{100-25+\left(-50-50\right)i}{125})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 100-25+\left(-50-50\right)i.

$$Re(\frac{75-100i}{125})$$

Jaa 75-100i luvulla 125, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i.

$$Re(\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i)$$

Luvun \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i reaaliosa on \frac{3}{5}.

$$\frac{3}{5}$$