Ratkaise (3+4i)(1+2i)/1+i=

$$\frac { ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) } { 1 + i } =$$

Laske

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i=2,5+7,5i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro kompleksiluvut 3+4i ja 1+2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$\frac{3+6i+4i-8}{1+i}$$

Yhdistä lukujen 3+6i+4i-8 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 3-8+\left(6+4\right)i.

$$\frac{-5+10i}{1+i}$$

Kerro sekä osoittaja että nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1-i.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2}$$

Kerro kompleksiluvut -5+10i ja 1-i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2}$$

Suorita kertolaskut kohteessa -5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$\frac{-5+5i+10i+10}{2}$$

Yhdistä lukujen -5+5i+10i+10 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa -5+10+\left(5+10\right)i.

$$\frac{5+15i}{2}$$

Jaa 5+15i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i$$

Reaaliosa

$$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro kompleksiluvut 3+4i ja 1+2i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$Re(\frac{3+6i+4i-8}{1+i})$$

Yhdistä lukujen 3+6i+4i-8 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 3-8+\left(6+4\right)i.

$$Re(\frac{-5+10i}{1+i})$$

Kerro sekä luvun \frac{-5+10i}{1+i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1-i.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)})$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2})$$

Kerro kompleksiluvut -5+10i ja 1-i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2})$$

Suorita kertolaskut kohteessa -5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{-5+5i+10i+10}{2})$$

Yhdistä lukujen -5+5i+10i+10 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa -5+10+\left(5+10\right)i.

$$Re(\frac{5+15i}{2})$$

Jaa 5+15i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$Re(\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i)$$

Luvun \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i reaaliosa on \frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}$$