Ratkaise (2x)^2/(1-x)(1-5-x)=12*10^-2

$$\frac { ( 2 x ) ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ( 1 - 5 - x ) } = 12 \times 10 ^ { - 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9+5\sqrt{183}i}{194}\approx 0,046391753+0,348653331i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{183}i+9}{194}\approx 0,046391753-0,348653331i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -4,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+4\right).

$$\left(2x\right)^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Lavenna \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$4x^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske 10 potenssiin -2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{100}.

$$4x^{2}=12\times \frac{1}{100}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Kerro 12 ja \frac{1}{100}, niin saadaan \frac{3}{25}.

$$4x^{2}=\frac{3}{25}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske lukujen \frac{3}{25} ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}=\left(\frac{3}{25}x-\frac{3}{25}\right)\left(x+4\right)$$

Laske lukujen \frac{3}{25}x-\frac{3}{25} ja x+4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$4x^{2}=\frac{3}{25}x^{2}+\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Vähennä \frac{3}{25}x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-\frac{3}{25}x^{2}=\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Selvitä \frac{97}{25}x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -\frac{3}{25}x^{2}.

$$\frac{97}{25}x^{2}=\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Vähennä \frac{9}{25}x molemmilta puolilta.

$$\frac{97}{25}x^{2}-\frac{9}{25}x=-\frac{12}{25}$$

Lisää \frac{12}{25} molemmille puolille.

$$\frac{97}{25}x^{2}-\frac{9}{25}x+\frac{12}{25}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{97}{25}, b luvulla -\frac{9}{25} ja c luvulla \frac{12}{25} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\sqrt{\left(-\frac{9}{25}\right)^{2}-4\times \frac{97}{25}\times \frac{12}{25}}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Korota -\frac{9}{25} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\sqrt{\frac{81}{625}-4\times \frac{97}{25}\times \frac{12}{25}}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Kerro -4 ja \frac{97}{25}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\sqrt{\frac{81}{625}-\frac{388}{25}\times \frac{12}{25}}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Kerro -\frac{388}{25} ja \frac{12}{25} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\sqrt{\frac{81-4656}{625}}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Lisää \frac{81}{625} lukuun -\frac{4656}{625} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\sqrt{-\frac{183}{25}}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Ota luvun -\frac{183}{25} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{25}\right)±\frac{\sqrt{183}i}{5}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Luvun -\frac{9}{25} vastaluku on \frac{9}{25}.

$$x=\frac{\frac{9}{25}±\frac{\sqrt{183}i}{5}}{2\times \frac{97}{25}}$$

Kerro 2 ja \frac{97}{25}.

$$x=\frac{\frac{9}{25}±\frac{\sqrt{183}i}{5}}{\frac{194}{25}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{9}{25}±\frac{\sqrt{183}i}{5}}{\frac{194}{25}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{9}{25} lukuun \frac{i\sqrt{183}}{5}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{183}i}{5}+\frac{9}{25}}{\frac{194}{25}}$$

Jaa \frac{9}{25}+\frac{i\sqrt{183}}{5} luvulla \frac{194}{25} kertomalla \frac{9}{25}+\frac{i\sqrt{183}}{5} luvun \frac{194}{25} käänteisluvulla.

$$x=\frac{9+5\sqrt{183}i}{194}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{9}{25}±\frac{\sqrt{183}i}{5}}{\frac{194}{25}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{183}}{5} luvusta \frac{9}{25}.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{183}i}{5}+\frac{9}{25}}{\frac{194}{25}}$$

Jaa \frac{9}{25}-\frac{i\sqrt{183}}{5} luvulla \frac{194}{25} kertomalla \frac{9}{25}-\frac{i\sqrt{183}}{5} luvun \frac{194}{25} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-5\sqrt{183}i+9}{194}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9+5\sqrt{183}i}{194} x=\frac{-5\sqrt{183}i+9}{194}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -4,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+4\right).

$$\left(2x\right)^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Lavenna \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$4x^{2}=12\times 10^{-2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske 10 potenssiin -2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{100}.

$$4x^{2}=12\times \frac{1}{100}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Kerro 12 ja \frac{1}{100}, niin saadaan \frac{3}{25}.

$$4x^{2}=\frac{3}{25}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Laske lukujen \frac{3}{25} ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}=\left(\frac{3}{25}x-\frac{3}{25}\right)\left(x+4\right)$$

Laske lukujen \frac{3}{25}x-\frac{3}{25} ja x+4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$4x^{2}=\frac{3}{25}x^{2}+\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Vähennä \frac{3}{25}x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-\frac{3}{25}x^{2}=\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Selvitä \frac{97}{25}x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -\frac{3}{25}x^{2}.

$$\frac{97}{25}x^{2}=\frac{9}{25}x-\frac{12}{25}$$

Vähennä \frac{9}{25}x molemmilta puolilta.

$$\frac{97}{25}x^{2}-\frac{9}{25}x=-\frac{12}{25}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{97}{25}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{97}{25}x^{2}-\frac{9}{25}x}{\frac{97}{25}}=-\frac{\frac{12}{25}}{\frac{97}{25}}$$

Jakaminen luvulla \frac{97}{25} kumoaa kertomisen luvulla \frac{97}{25}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{9}{25}}{\frac{97}{25}}\right)x=-\frac{\frac{12}{25}}{\frac{97}{25}}$$

Jaa -\frac{9}{25} luvulla \frac{97}{25} kertomalla -\frac{9}{25} luvun \frac{97}{25} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{9}{97}x=-\frac{\frac{12}{25}}{\frac{97}{25}}$$

Jaa -\frac{12}{25} luvulla \frac{97}{25} kertomalla -\frac{12}{25} luvun \frac{97}{25} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{9}{97}x=-\frac{12}{97}$$

Jaa -\frac{9}{97} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{194}. Lisää sitten -\frac{9}{194}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{97}x+\left(-\frac{9}{194}\right)^{2}=-\frac{12}{97}+\left(-\frac{9}{194}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{194} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{97}x+\frac{81}{37636}=-\frac{12}{97}+\frac{81}{37636}$$

Lisää -\frac{12}{97} lukuun \frac{81}{37636} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{97}x+\frac{81}{37636}=-\frac{4575}{37636}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{97}x+\frac{81}{37636} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{194}\right)^{2}=-\frac{4575}{37636}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{194}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4575}{37636}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{194}=\frac{5\sqrt{183}i}{194} x-\frac{9}{194}=-\frac{5\sqrt{183}i}{194}$$

Lisää \frac{9}{194} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9+5\sqrt{183}i}{194} x=\frac{-5\sqrt{183}i+9}{194}$$