Ratkaise (2+1/x)^2/1+x-(1-1/x)^2*(x+1/x-2)-frac{2x+1}{x^2+x}

$$\frac { ( 2 + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } { 1 + x } - ( 1 - \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } \cdot ( x + \frac { 1 } { x } - 2 ) - \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + x }$$

Laske

$$-x+4-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 2 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}\right)^{2}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{2x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\left(\frac{2x+1}{x}\right)^{2}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kohota \frac{2x+1}{x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Ilmaise \frac{\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}}}{1+x} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 1 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(\frac{x}{x}-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(\frac{x-1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kohota \frac{x-1}{x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro x-2 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\left(\frac{\left(x-2\right)x}{x}+\frac{1}{x}\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{\left(x-2\right)x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\times \frac{\left(x-2\right)x+1}{x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(x-2\right)x+1.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\times \frac{x^{2}-2x+1}{x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kerro \frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}} ja \frac{x^{2}-2x+1}{x} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{2}x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, lisää niiden eksponentit yhteen. Lisää 2 ja 1 yhteen saadaksesi 3.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen x^{2}\left(1+x\right) ja x^{3} pienin yhteinen jaettava on \left(x+1\right)x^{3}. Kerro \frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)} ja \frac{x}{x}. Kerro \frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{3}} ja \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}x}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{\left(2x+1\right)^{2}x}{\left(x+1\right)x^{3}} ja \frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}x-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(2x+1\right)^{2}x-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{4x^{3}+4x^{2}+x-x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-x^{3}+x^{2}+x-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 4x^{3}+4x^{2}+x-x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-x^{3}+x^{2}+x-1.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jaa x^{2}+x tekijöihin.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x\left(x+1\right)}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(x+1\right)x^{3} ja x\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava on \left(x+1\right)x^{3}. Kerro \frac{2x+1}{x\left(x+1\right)} ja \frac{x^{2}}{x^{2}}.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Koska arvoilla \frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}} ja \frac{\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-\left(2x+1\right)x^{2}.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-2x^{3}-x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-2x^{3}-x^{2}.

$$\frac{x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Jaa tekijöihin yhtälön \frac{x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}} lausekkeet, joita ei ole jo jaettu tekijöihin.

$$\frac{\left(x+1\right)\left(-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+5x-1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Supista x+1 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+5x-1}{x^{3}}$$

Lavenna

$$-x+4-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 2 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}\right)^{2}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{2x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\left(\frac{2x+1}{x}\right)^{2}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kohota \frac{2x+1}{x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}}}{1+x}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Ilmaise \frac{\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}}}{1+x} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 1 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(\frac{x}{x}-\frac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\left(\frac{x-1}{x}\right)^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kohota \frac{x-1}{x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro x-2 ja \frac{x}{x}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\left(\frac{\left(x-2\right)x}{x}+\frac{1}{x}\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{\left(x-2\right)x}{x} ja \frac{1}{x} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\times \frac{\left(x-2\right)x+1}{x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(x-2\right)x+1.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}}\times \frac{x^{2}-2x+1}{x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Kerro \frac{\left(x-1\right)^{2}}{x^{2}} ja \frac{x^{2}-2x+1}{x} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{2}x}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, lisää niiden eksponentit yhteen. Lisää 2 ja 1 yhteen saadaksesi 3.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen x^{2}\left(1+x\right) ja x^{3} pienin yhteinen jaettava on \left(x+1\right)x^{3}. Kerro \frac{\left(2x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(1+x\right)} ja \frac{x}{x}. Kerro \frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)}{x^{3}} ja \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}x}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Koska arvoilla \frac{\left(2x+1\right)^{2}x}{\left(x+1\right)x^{3}} ja \frac{\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\left(2x+1\right)^{2}x-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(2x+1\right)^{2}x-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{4x^{3}+4x^{2}+x-x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-x^{3}+x^{2}+x-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 4x^{3}+4x^{2}+x-x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x-x^{3}+x^{2}+x-1.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$$

Jaa x^{2}+x tekijöihin.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{2x+1}{x\left(x+1\right)}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(x+1\right)x^{3} ja x\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava on \left(x+1\right)x^{3}. Kerro \frac{2x+1}{x\left(x+1\right)} ja \frac{x^{2}}{x^{2}}.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}-\frac{\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Koska arvoilla \frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}} ja \frac{\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-\left(2x+1\right)x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-\left(2x+1\right)x^{2}.

$$\frac{2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-2x^{3}-x^{2}}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 2x^{3}+2x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1-2x^{3}-x^{2}.

$$\frac{x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Jaa tekijöihin yhtälön \frac{x^{2}+4x-x^{5}+3x^{4}-1}{\left(x+1\right)x^{3}} lausekkeet, joita ei ole jo jaettu tekijöihin.

$$\frac{\left(x+1\right)\left(-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+5x-1\right)}{\left(x+1\right)x^{3}}$$

Supista x+1 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{-x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+5x-1}{x^{3}}$$