Ratkaise cosA--015

$$\cos A - - 015$$

Derivoi muuttujan A suhteen

$$-\sin(A)$$

Vaiheet, joissa käytetään derivaatan määritelmää

Kerro 0 ja 15, niin saadaan 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)-0)$$

Kerro -1 ja 0, niin saadaan 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)+0)$$

Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))$$

Funktion f\left(x\right) derivaatta on raja-arvo \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, kun h lähestyy arvoa 0, jos kyseinen raja-arvo on olemassa.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}\right)$$

Käytä kosinin summakaavaa.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}$$

Jaa tekijöihin \cos(A):n suhteen.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(A)\sin(h)}{h}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Käytä tietoa, että A on vakio, laskettaessa raja-arvoa, kun h lähestyy arvoa 0.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Raja-arvo \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} on 1.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)$$

Jos haluat määrittää raja-arvon \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, kerro ensin osoittaja ja nimittäjä luvulla \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Kerro \cos(h)+1 ja \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Käytä Pythagoraan identiteettiä.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Raja-arvo \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} on 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Käytä tietoa, että \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} on jatkuva arvolla 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sijoita arvo 0 yhtälöön \cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A).

$$-\sin(A)$$

Laske

$$\cos(A)$$