Ratkaise {[(1/2a-2/3b)(1/2a+2/3b)^{3}-(frac{1}{4}a^{2}-frac{4}{9}b^{2})(frac{4}{9}b^2+frac{1}{4}a^2)]-frac{1}{3}ab(frac{1}{2}a^2+frac{1}{9}b^2)}

$$\{ [ ( \frac { 1 } { 2 } a - \frac { 2 } { 3 } b ) ( \frac { 1 } { 2 } a + \frac { 2 } { 3 } b ) ^ { 3 } - ( \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } ) ( \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } ) ] - \frac { 1 } { 3 } a b ( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 9 } b ^ { 2 } ) \}$$

Laske

$$-\frac{ab^{3}}{3}$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} yhtälön \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3} laajentamiseen.

$$\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske lukujen \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b ja \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Lavenna \left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske \frac{1}{4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Lavenna \left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske \frac{4}{9} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{16}{81}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen \frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä \frac{1}{16}a^{4} ja -\frac{1}{16}a^{4}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä -\frac{16}{81}b^{4} ja \frac{16}{81}b^{4}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske lukujen -\frac{1}{3}ab ja \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Selvitä 0 yhdistämällä \frac{1}{6}a^{3}b ja -\frac{1}{6}a^{3}b.

$$-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Selvitä -\frac{1}{3}ab^{3} yhdistämällä -\frac{8}{27}ab^{3} ja -\frac{1}{27}ab^{3}.

$$-\frac{1}{3}ab^{3}$$

Lavenna

$$-\frac{ab^{3}}{3}$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} yhtälön \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3} laajentamiseen.

$$\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske lukujen \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b ja \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Lavenna \left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske \frac{1}{4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Lavenna \left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske \frac{4}{9} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{16}{81}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen \frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä \frac{1}{16}a^{4} ja -\frac{1}{16}a^{4}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä -\frac{16}{81}b^{4} ja \frac{16}{81}b^{4}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Laske lukujen -\frac{1}{3}ab ja \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Selvitä 0 yhdistämällä \frac{1}{6}a^{3}b ja -\frac{1}{6}a^{3}b.

$$-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Selvitä -\frac{1}{3}ab^{3} yhdistämällä -\frac{8}{27}ab^{3} ja -\frac{1}{27}ab^{3}.

$$-\frac{1}{3}ab^{3}$$