Ratkaise =(3x-5)^2+32=0

$$= ( 3 x - 5 ) ^ { 2 } + 32 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}\approx 1,666666667-1,885618083i$$

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}\approx 1,666666667+1,885618083i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3x-5\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Selvitä 57 laskemalla yhteen 25 ja 32.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -30 ja c luvulla 57 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Korota -30 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 57}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 57.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-2052}}{2\times 9}$$

Lisää 900 lukuun -2052.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-1152}}{2\times 9}$$

Ota luvun -1152 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 30 lukuun 24i\sqrt{2}.

$$x=\frac{30+24\sqrt{2}i}{18}$$

Jaa 30+24i\sqrt{2} luvulla 18.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24i\sqrt{2} luvusta 30.

$$x=\frac{-24\sqrt{2}i+30}{18}$$

Jaa 30-24i\sqrt{2} luvulla 18.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3x-5\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Selvitä 57 laskemalla yhteen 25 ja 32.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Vähennä 57 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$9x^{2}-30x=-57$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{57}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{57}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{9} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{57}{9}$$

Supista murtoluku \frac{-57}{9} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{19}{3}$$

Jaa -\frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{3}. Lisää sitten -\frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{19}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{19}{3}+\frac{25}{9}$$

Lisää -\frac{19}{3} lukuun \frac{25}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{32}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Lisää \frac{5}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$