Ratkaise =1+i/1-i

$$= \frac { 1 + i } { 1 - i }$$

Laske

$$i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä osoittaja että nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1+i.

$$\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1^{2}-i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{2}$$

Kerro kompleksiluvut 1+i ja 1+i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{1\times 1+i+i+i^{2}}{2}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{1\times 1+i+i-1}{2}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 1\times 1+i+i-1.

$$\frac{1+i+i-1}{2}$$

Yhdistä lukujen 1+i+i-1 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{1-1+\left(1+1\right)i}{2}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 1-1+\left(1+1\right)i.

$$\frac{2i}{2}$$

Jaa 2i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee i.

$$i$$

Reaaliosa

$$0$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä luvun \frac{1+i}{1-i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1+i.

$$Re(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)})$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{1^{2}-i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{2})$$

Kerro kompleksiluvut 1+i ja 1+i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{1\times 1+i+i+i^{2}}{2})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{1\times 1+i+i-1}{2})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 1\times 1+i+i-1.

$$Re(\frac{1+i+i-1}{2})$$

Yhdistä lukujen 1+i+i-1 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{1-1+\left(1+1\right)i}{2})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 1-1+\left(1+1\right)i.

$$Re(\frac{2i}{2})$$

Jaa 2i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee i.

$$Re(i)$$

Luvun i reaaliosa on 0.

$$0$$