Ratkaise +54x+sqrt{x}=75

$$+54x+ \sqrt{ x } = 75$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{8101 - \sqrt{16201}}{5832} \approx 1,3672354$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä 54x yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{x}=75-54x$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(75-54x\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$x=\left(75-54x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(75-54x\right)^{2} laajentamiseen.

$$x=5625-8100x+2916x^{2}$$

Vähennä 5625 molemmilta puolilta.

$$x-5625=-8100x+2916x^{2}$$

Lisää 8100x molemmille puolille.

$$x-5625+8100x=2916x^{2}$$

Selvitä 8101x yhdistämällä x ja 8100x.

$$8101x-5625=2916x^{2}$$

Vähennä 2916x^{2} molemmilta puolilta.

$$8101x-5625-2916x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2916x^{2}+8101x-5625=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2916, b luvulla 8101 ja c luvulla -5625 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{8101^{2}-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Korota 8101 neliöön.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Kerro -4 ja -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201+11664\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Kerro 11664 ja -5625.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-65610000}}{2\left(-2916\right)}$$

Lisää 65626201 lukuun -65610000.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{2\left(-2916\right)}$$

Kerro 2 ja -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8101 lukuun \sqrt{16201}.

$$x=\frac{\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Jaa -8101+\sqrt{16201} luvulla -5832.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{16201} luvusta -8101.

$$x=\frac{-\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Jaa -8101-\sqrt{16201} luvulla -5832.

$$x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Korvaa x arvolla \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} yhtälössä 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}+\sqrt{\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}}=75$$

Sievennä. Arvo x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} täyttää yhtälön.

$$75=75$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} yhtälössä 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}+\sqrt{\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}}=75$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} ei täytä yhtälöä.

$$\frac{1}{54}\times 16201^{\frac{1}{2}}+\frac{4051}{54}=75$$

Yhtälöön\sqrt{x}=75-54x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$