حل z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

برای z حل کنید

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

t به جای z^{3} جایگزین شود.

$$t^{2}-t+1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -1 را با b، و 1 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

معادله t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

از آنجا که z=t^{3}، جواب‌های معادله با حل آن به ازای هر t بدست می‌آید.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$