حل z^3=-64

$$z ^ { 3 } = - 64$$

برای z حل کنید

$$z=-4$$

مراحل راه‌حل

64 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$z^{3}+64=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 64 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$z=-4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، z-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. z^{3}+64 را بر z+4 برای به دست آوردن z^{2}-4z+16 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$z^{2}-4z+16=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -4 را با b، و 16 را با c جایگزین کنید.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$z=\frac{4±\sqrt{-48}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$z\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$z=-4$$