حل z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

برای z حل کنید (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -8 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$z=1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، z-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. z^{3}+3z^{2}+4z-8 را بر z-1 برای به دست آوردن z^{2}+4z+8 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$z^{2}+4z+8=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 4 را با b، و 8 را با c جایگزین کنید.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

معادله z^{2}+4z+8=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

برای z حل کنید

$$z=1$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -8 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$z=1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، z-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. z^{3}+3z^{2}+4z-8 را بر z-1 برای به دست آوردن z^{2}+4z+8 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$z^{2}+4z+8=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 4 را با b، و 8 را با c جایگزین کنید.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$z\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$z=1$$