حل z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

برای z حل کنید

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0.2+0.979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0.2-0.979795897i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، \frac{2}{5} را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

\frac{2}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

\frac{4}{25} را به -4 اضافه کنید.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

ریشه دوم -\frac{96}{25} را به دست آورید.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

اکنون معادله z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -\frac{2}{5} را به \frac{4i\sqrt{6}}{5} اضافه کنید.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

\frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} را بر 2 تقسیم کنید.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

اکنون معادله z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. \frac{4i\sqrt{6}}{5} را از -\frac{2}{5} تفریق کنید.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

\frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} را بر 2 تقسیم کنید.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

\frac{2}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{5} شود. سپس مجذور \frac{1}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

\frac{1}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

-1 را به \frac{1}{25} اضافه کنید.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

عامل z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

ساده کنید.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

\frac{1}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$