حل y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=2$$

$$y=15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) از y^{2}-17y+30 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-17 ab=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -17 است.

$$a=-15 b=-2$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(y+a\right)\left(y+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-15=0 و y-2=0 را حل کنید.

$$y=15 y=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by+30 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -17 است.

$$a=-15 b=-2$$

y^{2}-17y+30 را به‌عنوان \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-15 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-15=0 و y-2=0 را حل کنید.

$$y=15 y=2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y^{2}-17y+30=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -17 را با b و 30 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

-17 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

-4 بار 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

289 را به -120 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

متضاد -17 عبارت است از 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

اکنون معادله y=\frac{17±13}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 17 را به 13 اضافه کنید.

$$y=\frac{30}{2}$$

30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=15$$

اکنون معادله y=\frac{17±13}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 17 تفریق کنید.

$$y=\frac{4}{2}$$

4 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=15 y=2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$y^{2}-17y+30=0$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

تفریق 30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$y^{2}-17y=-30$$

-17، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{17}{2} شود. سپس مجذور -\frac{17}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

-\frac{17}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

-30 را به \frac{289}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

عامل y^{2}-17y+\frac{289}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

\frac{17}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=15 y=2$$