حل y^2-10y+16=0

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=2$$

$$y=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) از y^{2}-10y+16 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-10 ab=16$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 16 است فهرست کنید.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -10 است.

$$a=-8 b=-2$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(y+a\right)\left(y+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-8=0 و y-2=0 را حل کنید.

$$y=8 y=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by+16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 16 است فهرست کنید.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -10 است.

$$a=-8 b=-2$$

y^{2}-10y+16 را به‌عنوان \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-8=0 و y-2=0 را حل کنید.

$$y=8 y=2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y^{2}-10y+16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -10 را با b و 16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

-10 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

-4 بار 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

100 را به -64 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

ریشه دوم 36 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

متضاد -10 عبارت است از 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

اکنون معادله y=\frac{10±6}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 10 را به 6 اضافه کنید.

$$y=\frac{16}{2}$$

16 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=8$$

اکنون معادله y=\frac{10±6}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6 را از 10 تفریق کنید.

$$y=\frac{4}{2}$$

4 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=8 y=2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$y^{2}-10y+16=0$$

16 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

تفریق 16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$y^{2}-10y=-16$$

-10، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -5 شود. سپس مجذور -5 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

-5 را مجذور کنید.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

-16 را به 25 اضافه کنید.

$$y^{2}-10y+25=9$$

عامل y^{2}-10y+25. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

ساده کنید.

$$y-5=3 y-5=-3$$

5 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=8 y=2$$