حل y^2+7y-60=0

$$y ^ { 2 } + 7 y - 60 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=-12$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) از y^{2}+7y-60 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-5 b=12$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(y+a\right)\left(y+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-5=0 و y+12=0 را حل کنید.

$$y=5 y=-12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by-60 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-5 b=12$$

y^{2}+7y-60 را به‌عنوان \left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از 12 فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-5\right)+12\left(y-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-5=0 و y+12=0 را حل کنید.

$$y=5 y=-12$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y^{2}+7y-60=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 7 را با b و -60 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

7 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 بار -60.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2}$$

49 را به 240 اضافه کنید.

$$y=\frac{-7±\sqrt{289}}{2}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$y=\frac{-7±17}{2}$$

اکنون معادله y=\frac{-7±17}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 17 اضافه کنید.

$$y=\frac{10}{2}$$

10 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=5$$

اکنون معادله y=\frac{-7±17}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -7 تفریق کنید.

$$y=-\frac{24}{2}$$

-24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=-12$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=5 y=-12$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$y^{2}+7y-60=0$$

60 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y^{2}+7y-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

تفریق -60 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$y^{2}+7y=-\left(-60\right)$$

-60 را از 0 تفریق کنید.

$$y^{2}+7y=60$$

7، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{2} شود. سپس مجذور \frac{7}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}+7y+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

\frac{7}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

60 را به \frac{49}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

عامل y^{2}+7y+\frac{49}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

ساده کنید.

$$y+\frac{7}{2}=\frac{17}{2} y+\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{7}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=5 y=-12$$