حل x(x-8)(x-4)^2=225

$$x ( x - 8 ) ( x - 4 ) ^ { 2 } = 225$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=9$$

$$x=4-3i$$

$$x=4+3i$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در x-8 استفاده کنید.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب x^{2}-8x در x^{2}-8x+16 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

225 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -225 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 را بر x+1 برای به دست آوردن x^{3}-17x^{2}+97x-225 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -225 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=9$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-17x^{2}+97x-225 را بر x-9 برای به دست آوردن x^{2}-8x+25 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}-8x+25=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -8 را با b، و 25 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

معادله x^{2}-8x+25=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=4-3i x=4+3i$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=-1 x=9 x=4-3i x=4+3i$$

برای x حل کنید

$$x=9$$

$$x=-1$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در x-8 استفاده کنید.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب x^{2}-8x در x^{2}-8x+16 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

225 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -225 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 را بر x+1 برای به دست آوردن x^{3}-17x^{2}+97x-225 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -225 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=9$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-17x^{2}+97x-225 را بر x-9 برای به دست آوردن x^{2}-8x+25 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}-8x+25=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -8 را با b، و 25 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$x\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=-1 x=9$$