حل x^4-x^2-12

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

عامل

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -12 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}-x^{2}-12 را بر x-2 برای به دست آوردن x^{3}+2x^{2}+3x+6 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 6 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}+2x^{2}+3x+6 را بر x+2 برای به دست آوردن x^{2}+3 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{2}+3=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 0 را با b، و 3 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

از چندجمله‌ای x^{2}+3 فاکتور گرفته نشده زیرا هیچ ریشه گویایی ندارد.

$$x^{2}+3$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

ارزیابی

$$x^{4}-x^{2}-12$$